Matematika Ekonomi dan Bisnis

Kaidah – Kaidah Diferensial

1. Diferensiasi Konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0 Contoh : y = 5, maka dy/dx = 0
atau lebih mudahnya kalau kita mengganti simbol dy/dx menjadi y’, misalnya:
y = 100 -> y’ = 0
y = ½ -> y’ = 0

2. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = xⁿ, dan adalah konstanta maka
dy/dx  = nX^n-1
Contoh :
y = x³
y’ = 3 x 3-1 = 3 x²
y = X ^–8
y’ = – 8X^–9

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = kv dan v = h (x) maka dy/dx = k dv/dx
Contoh : y = 5 x³, maka dy/dx = 5 ( 3x² ) = 15 x²
Contoh lain:
y = 5X^–8 -> y’ = – 40X^–9
y = 4X⁵ -> y’ = 20X⁴

4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi

Jika y = k , dimana v = h (x), maka dy/dx = k dy/dx /v²
Contoh : y = 5/x³ , dy/dx = 5(3x²)/(x³)2 = −15x²/x⁶
Contoh lain:
y = 4/X^–8 -> y’ = – 4. – 8 X^–9/(X^–8)² = 32X^–9/X ^–16
y’ = (32 X^–9 ). X¹⁶
y’ = 32X⁷

5. Diferensiasi penjumlahan / pengurangan fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g (x) dan v = h(x), maka dy/dx = du/dx ± dv/dx
Contoh : y = 4 x² + x³ misalkan u = 4 x² → du/dx = 8x
v = x³ → dv/dx = 3 x² , maka dy/dx = 8x + 3x²
y = – 2X^–1 + 4X + 8 , maka y’ = 2X^–2 + 4

6. Diferensiasi perkalian fungsi

Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x) maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx
Contoh : y = (4x²) (x³)
misalkan u = 4 x² → du/dx = 8 x
v = x³ → dv/dx = 3 x²
maka dy/dx = u dv/dx + v du/dx = (4x²) (3x²) + (x³)(8x)
= 12 x⁴ + 8x⁴ = 20 x⁴

7. Diferensiasi pembagian fungsi

Jika y = U/V , dimana U = g (x) dan V = h (x) maka y’ = VU’ – UV’/V 2
Contoh : y = U/V -> y = (4x²)/x³
y’ = x³(8x) – (4x²).3x²/(x³)² = 8X⁴ – 12X⁴/x ⁶
= – 4X⁴ .X^–6
= – 4X^–2

8. Diferensiasi fungsi komposit

Jika y = f(x) sedangkan u = g(x), dengan kata lain y = f {g(x)} maka dy/dx = dy/du * du/dx Contoh :
y = (4x³ + 5)²
misalkan u = 4x³ + 5 → du/dx = 12x²
y = u² → dy/du = 2u
maka dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 12x²
= 2 (4x³ + 5) * 12x²
= 96 x⁵ + 120 x²

9. Diferensiasi fungsi berpangkat

Jika y = uⁿ , dimana u = g (x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx = nu n-1 * du/dx
Contoh : y = (4x³ + 5)²
misalkan u = 4x³ + 5 → du/dx = 12x² dan
y = u²
Maka dy/dx = nu n-1 * du/dx = 2 (4x³ + 5)(2-1)*12x²
= 96 x⁵ + 120 x²

10 .Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik
y = ^a log U ; U =  g(x) maka dy/dx = ^a log e/U.du/dx
Contoh:
y = log (x+5)/(x+7),
maka dalam soal ini U = (x+5)/(x+7)
du/dx = (x+7)(1)-(x+5)(1)/(x+7)^{2 =} 2/(x+7)²
Sehingga dy/dx = log e/(x+5)(x+7).2/(x+7)²
dy/dx = 2 log e/(x+5)(x+7)

11. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Berpangkat
y = (^a log U)ⁿ dimana U = g(x)
n = konstanta
maka dy/dx = n (^a log U)^n-1 . ^a log e/U.du/dx
Contoh:
y = (log 6x²)^3. -> U = 6x² ; jadi du/dx = 12x
dy/dx = 3 (log 6x²)² . log e/6x² (12x)
= 36x(log 6x²)² log e/6x²
= 6 (log 6x²)²  log e/x

12. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Napier
Log. Napier → logaritma yang bilangan pkoknya e
e = 2,71828
→Biasa ditulis dengan ^e log a = 1n a
y = Ln U ; U = g(x) maka dy/dx = 1/U. du/dx
Contoh: y = 1n (5x² + 7) -> U = 5x² + 7
du/dx =  10x
dy/dx = 1/(5x² + 7). 10x = 10x/(5x² + 7)

13. Diferensiasi Fungsi Komposit logaritmik Napier Berpangkat
y =  (Ln U)ⁿ ; U = g (x) ; n = konstanta
dy/dx = n(Ln U)^n-1.1/U.du/dx
Contoh:
y = (Ln 3x²)⁴ -> U = 3x² -> du/dx = 6x
dy/dx = 4(Ln 3x²)³ 1/3x² . 6x
dy/dx = 8/x(Ln 3x²)³

14.Diferensiasi Fungsi Komposit Eksponensial
y = a^u ; U = g (x) dan a = konstanta ; maka dy/dx = a^u Ln a du/dx
Contoh:
y = 5 ^(x2-2)  maka U = x²-2 sehingga du/dx = 2x
dy/dx = 5 ^(x2-2)   Ln 5. 2x

15.Diferensiasi Fungsi Kompleks
y = U^v ; U = g (x) dan V = h (x)
maka dy/dx = V.U^v-1 du/dx  + U^v Ln U dv/dx
Contoh:
y = 7x ^x5  -> U = 7x -> du/dx = 7
V = x5 -> dv/dx = 5x⁴
dy/dx = x⁵ . 7x ^x5-1 . 7 + 7x  ^x5 Ln 7x . 5x⁴
               = 49x ^x5+4 + 35x ^x5+4 Ln. 7x
= 35x ^x5+4 (7/5 + Ln 7x)

16.Diferensiasi Fungsi Balikan
Jika y = f (x) dan x = g (y) adalah fungsi-fungsi yang berbalikan, maka
dy/dx = 1/dx/dy
Contoh:
x = 10y + 3y⁴
maka dx/dy = 10 + 12y³
seehingga dy/dx = 1/ 10 + 12y³